定義：Σ^＊の部分集合を「言語」という。

　それはさておき。

Σ＝{a}のとき、Σ^＊＝{a}^＊と自然数の集合Nは1対1に対応付けられる。

　{a}^＊とは、{ε,a,aa,aaa,…}のことだ。N＝{0,1,2,3,…}と対応するのは自然。

　ここで言ってる写像は何の条件もないので、別に1対1でもontoでもないはずだ。アルファベット「日本語のひらがな」「日本語のカタカナ」を考えよう。ひらがな文字の集合からカタカナ語の集合（「日本語のカタカナ」*）への写像hを50音順の対応としよう。つまり、あ→ア,い→イ,…,ん→ン、という写像だ（カタカナ語の集合には「ア」「アノネ」「アンタバカネ」「イ」などを含むが、「アノネ」「アンタバカネ」などの語に写ってくるひらがな文字はないことにする）。

　アルファベットにはεを含まないようだ（暗黙？）が、アルファベット上のすべての語の集合にはεを含むので、Σ^＊からの写像に定義を拡張するため「h(ε)＝ε」という設定が必要だ。

　もうひとつの拡張設定をひらがな･カタカナの例で考える。
　x∈Σ^＊,a∈Σに対する「xa」とは、「ひらがな語」と「ひらがな」をつなげたモノ、たとえば「あ・い」、「あのね・え」、「きゅうたろうは・ね」などだ。これに対する写像を、後ろから一文字ずつばらして適用するというわけだ。
　例：h(あい)＝h(あ)h(い)＝「ア」「イ」＝「アイ」、h(あのねえ)＝h(あのね)h(え)＝…＝h(あ)h(の)h(ね)h(え)＝「アノネエ」
　たしかにこれで文字の集合から語の集合への写像を、語の集合から語の集合への写像に拡張している。

　ここではhをintoな写像として考えたが、べつにintoなものをontoに拡張したわけではない。あいかわらず、「アノネ」「アンタバカネ」などの語に写ってくるひらがなはないかもしれない。いや、まあこの例だと実際にはある（もちろん「あのね」→「アノネ」、「あんたばかね」→「アンタバカネ」）んだけど。
　ローマ字とカナで例を作った方がよかったかな。