「数学ガールの秘密ノート 丸い三角関数」/結城浩
数学ガールの秘密ノート/丸い三角関数
◎
いつもながら、こんなむずかしいこと高校時代に思いもしなかったなあ、という感想。
数学ガールの秘密ノート/丸い三角関数
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いつもながら、こんなむずかしいこと高校時代に思いもしなかったなあ、という感想。
今年も東京マラソンに申し込んだ。友人と一緒に、3年連続のエントリーだ。2人とも、これまで一度も当選していない。抽選倍率は約10倍と聞いた。3年連続で2人のうちどちらも出られない確率はどのくらいだろうか?
仮に、毎年の応募者が10万人ちょうどで、当選者は1万人ちょうどとしておく。また、各年の当落は互いに独立で、いっさいの優遇措置はないものとする。
毎年の当選確率は
10000/100000=0.1=10%
であるから、毎年の落選確率は残りの90%だ。
2人ともが3年連続で落選する確率は、この90%が連続6回起きるということだ。
したがって、求める確率Pは
P=(0.9)6=0.531441=53.1441%
である。
今回あたり、どちらかが出場できてもおかしくない(46.8559%)、ということになる。
なぜ洗剤や調味料が大量に届くのだろう? 注文したからに決まっている。が、私じゃない。家族のだれかだ(通常ウチではこれだけで一人に特定できる:いつも買い物注文感謝)。
日用品をストックしておく必要性はわかる。オンステージで使っているボトルの中身がいつなくなるか、は、中身が見えず想像しにくい問題だからだ。しかも、なくなったことに気づくのは、まさにそれを使おうとしたときなのだ。
OK,では、オンステージではない品物をあらかじめ購入しておくことにしよう。
それで、なぜ洗濯洗剤が4パックとかトイレ掃除シートが2パックとか、届くのだろうか。洗濯洗剤はまだあるし、トイレ掃除シートは多分2年分残っているのだ。 Read more…
大相撲の優勝争いが混沌としている。トップ3人が3敗で並び、次点が4敗で追っている。明日の結果次第では三つ巴の決定戦があるかもしれない。
それどころか、トップ3人がそろって負ければ4人、5人、6人が並ぶこともあるのかもしれない。
A,B,Cによる三つ巴の決定戦は、
3C2=3!/2!×(3-2)!
=3×2×1/2×1×1
=3
(A,B)、(B,C)、(C,A)の3番が組まれる。1番目で負けたものは、3番目に回される(この例ではA)。
そのせいで、この方式を「勝ち抜き戦」=他の全員に連続して勝つまで続ける、ととらえると、5人のときには大変なことになって、なかなか終わらない。
実際は、総当たりの組み合わせの数によるのだろう。全部で3番あるが、各自が行う試合数はそれぞれ2である。全員が1勝1敗では差がつかないので、過半数を勝利(この場合は2、すなわち全勝)できる者が出るまで続けているだけの話であろう。
A,B,C,D,Eによる総当たりの決定戦は、
5C2=5!/2!×(5-2)!
=5×4×3×2×1/2×1×3×2×1
=10
10番だ。各自が行う試合数はそれぞれ4である。
この場合は、勝ち残りで4連勝しなければ終わらないのではなく、トータル3勝1敗以上で過半数を勝てた者が出るまで続ければよい。したがって、1番目で勝った者が勝ち残りで連続して勝負に臨む必要はないように思われる。
例:(A,B)、(C,D)、(E,A)、(B,C)、(D,E)、(A,C)、(B,D)、(C,E)、(D,A)、(E,B)
なお、4人による決定戦の場合はトーナメント方式になるようだ。 Read more…
「思想の中の数学的構造」(ちくま学芸文庫)を読んだ。表紙のデザインも良い。
p115~ チョムスキーの生成文法あたりは有限オートマトンに与える記号列「語」の定義を思い出した。
p356 複素数の行列表現がwikipediaとは行・列が入れ替わっているようだ。対称なら本質には影響しないからどっちでもいいのか。
ちょっとこのブログの更新が滞っている。つまり勉強していないということです。
で、かわりに何をしているかというと、こんなものを作っていました。まあ、デザインと数学の融合ということで、こっちのブログの記事にしてもいいんじゃないかと。
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電車の中でパズルを見てて考えた。「ん」「ゅ」「し」を並べ替えて「旬」にする例題。
格別閃きがなくても、次の手順で正解が求まる。
まあ、こんなこと考えなくてもわかる単語だけど、論理的思考でなく、根拠の曖昧な閃きがないと解けない問題がちょっと気に入らないだけ。
y=sin(x) の傾きが最大になるのは、x=0のときだ(y’=cos(x))。
このときの傾きは、cos(0)=1 である。
ピンク色の直線y=xは原点でy=sin(x)と接する。
水色の矩形は、一辺がπ/2の正方形だ。
このグラフはIllustratorで縦横変倍を掛けても、接する関係は変わらないので、次のように推測できる。
加速運動する時間と、等速運動する時間を同じだけとると、等速運動中の移動距離は、加速時間中の移動距離のπ/2倍である。
つまり、ease:Sine.easeInで1秒間に100px移動させた後、滑らかに等速運動に移行するには、ease:Linear.easeNoneでは1秒間に100*π/2≒157px移動させるように指定すればよい。
実務上は、ease:Sine.easeIn で加速した後、ease:Linear.easeNone で等速運動を実行すればいいという。幸い、TweenLiteではdelay:で秒数を指定して次の動きを書くことができる。
しかし、それでは加速段階の最後の速度と、等速段階の速度が必ずしもイコールにはならない。
左がb1,右がb2だ。いずれも1秒後に等速運動になるようにしているが、つなぎ目がぎこちないのがわかるだろう(まぁ、わざとぎこちない例を作ったのだけど)。速度の変化が連続でないのだ。
package{ import flash.display.Sprite; import com.greensock.*; import com.greensock.easing.*; public class main extends Sprite{ public var b1:ball; public var b2:ball; public function main(){ b1=new ball(); b1.x=80; b1.y=24; addChild(b1); b2=new ball(); b2.x=240; b2.y=24; addChild(b2); TweenLite.to(b1,1,{y:b1.y+100,ease:Sine.easeIn}); TweenLite.to(b1,1,{y:b1.y+432,overwrite:false,delay:1,ease:Linear.easeNone}); TweenLite.to(b2,1,{y:b2.y+332,ease:Sine.easeIn}); TweenLite.to(b2,1,{y:b2.y+432,overwrite:false,delay:1,ease:Linear.easeNone}); } } }
IllustratorではなくFlashの話ですが。
ActionScriptでTweenLiteというフレームワークを使うと、アニメーションの効果を手軽に指定することができます。典型的なのは
など。タイトルの通り等速なら、easing.Linear:EaseNone、となる。
※1秒かけて、x座標を480まで動かす場合。
コードはちょっとうろ覚えだが、だいたいこんな感じに書く。詳しくは各自で。
ところが、「停止状態から、一定の速度になるまで加速して、以後は等速」というのは簡単には指定できない。
で、どうするか、というのはまた今度。
うわぁ。上記は結構間違って書き散らしてますね。動くコードは例えば下記。 Read more…