今年も東京マラソンに申し込んだ。友人と一緒に、3年連続のエントリーだ。2人とも、これまで一度も当選していない。抽選倍率は約10倍と聞いた。3年連続で2人のうちどちらも出られない確率はどのくらいだろうか?

 仮に、毎年の応募者が10万人ちょうどで、当選者は1万人ちょうどとしておく。また、各年の当落は互いに独立で、いっさいの優遇措置はないものとする。

仮説1

毎年の当選確率は
 10000/100000=0.1=10%
であるから、毎年の落選確率は残りの90%だ。
2人ともが3年連続で落選する確率は、この90%が連続6回起きるということだ。
したがって、求める確率Pは
 P=(0.9)6=0.531441=53.1441%
である。
今回あたり、どちらかが出場できてもおかしくない(46.8559%)、ということになる。

仮説2

毎年の、ある1人の当選確率は
 10000/100000=0.1=10%
であるが、定員がきっちり1万人なので、どちらか1人が当選した場合には定員が9999人に減っている。
同じことが落選の場合にもいえ、どちらか1人が落選した時点でもう1人の落選確率は1人分減っているはずだ。
すなわち、ある1年で、A・Bの2人ともが落選する確率は、
 Q=Q(A)×Q(B)=(90000/100000)×(89999/100000)
であり、これを3年連続させたものが求める確率Pである。
 P=Q3=Q(A)3×Q(B)3=(900003×899993)/1000006
  =(729000000000000×728975700269999)/1000006
  =0.5314232854…
  ≒53.1423%
やはり、そろそろどちらかが出場できてもおかしくない(46.8577%)。
あまり差が出ませんが、0.002%ほど上昇。

仮説3

これまでの2年間の落選は100%定まった事実であり、前提には「各年の当落は互いに独立」という条件がある。
したがって、問題になるのは次の1年分の当落のみである。
ゆえに、求める確率Pは
 P=Q=Q(A)×Q(B)=(90000/100000)×(89999/100000)=0.809991=80.9991%
である。
今回も8割がた、我々2人とも出場できませんな…。

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