- φについて成り立つ
- 各{a} (a∈Σ)について成り立つ
- 正則集合X,Yについて成り立つと仮定しとき、X∪Y,XY,X*についても成り立つ
任意の集合X⊆Σ*および語y∈Σ*に対して
y\X={z∈Σ*|yz∈X}
とおき、これをXのyによる左からの商とよぶ。
例:ひらがな語Σ*={あ,あのね,いやだなあ,うん,…}の部分集合として、X={「あ」で始まるひらがな語}を考える。Xは「いやだなあ」「うん」などを含まないが、「あ」「あのね」などを含む。このXを「あ」で割ってみる。
「あ」・z∈Σ*となるようなz、とは、頭に「あ」をくっつけると、「あ」を含むひらがな語になる、ということだ。当たり前だ! 例が良くない。
例:ひらがな語Σ*={あ,ああ,…,あおもり,おおもり,…}の部分集合として、X={都道府県名}を考える。Xは「あ」「ああ」「おおもり」などを含まないが、「あいち」「あおもり」など47の元を含む。このXを「あ」で割ってみる。
「あ」・z∈Σ*となるようなz、とは、頭に「あ」をくっつけると、都道府県名になる、ということだ。つまり47都道府県名のうち、「あ」で始まる「あおもり」「あきた」「あいち」(だけ?)から、「あ」を除いた、「おもり」「きた」「いち」がzである資格がある。
この場合、「あ」\{都道府県名}={「おもり」,「きた」,「いち」} というわけだ。
商(の性質)に、割る方も割られる方も痕跡が残らないのが、いまいち直感的に理解しにくい。
…と思ったが、そんなことはないな。除算だから逆演算として積を考えれば納得だ。両辺に「あ」を掛けてこんな感じ。イコールではないが。
{都道府県名} ⊇ 「あ」・{「おもり」,「きた」,「いち」}
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