問1.1 h:Σ→Γ が準同型写像のとき
h(xy)=h(x)h(y) (x,y∈Σ
であることをyの長さに関する帰納法で証明せよ。

 
● |y|=0のとき、左辺は
 h(xy)=h(xε)=h(x).
 右辺は
 h(x)h(y)=h(x)h(ε)=h(x). ∵準同型写像の定義による
 したがって
  h(xy)=h(x)h(y). (*)
● |y|=n (n∈N)のときh(xy)=h(x)h(y)が成り立つとする。yz=w∈Σ,z∈Σとおく。|w|=n+1である。h(x・w)=h(x)h(w)を示せばよい。
 連接は交換法則を満たすから、左辺は
 h(x・w)=h(xyz)=h(xy・z)
  =h(xy)h(z) ∵準同型写像の定義による
  =h(x)h(y)h(z). ∵|y|=nのときの仮定による
 右辺は
 h(x)h(w)=h(x)h(yz)
  =h(x)h(y)h(z) ∵準同型写像の定義によりyzを分解。
 したがって
  h(xy)=h(x)h(y). (**)
 (*)(**)により、常にh(xy)=h(x)h(y)が成り立つ。

Q.E.D.

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