問1.1　h:Σ^＊→Γ^＊　が準同型写像のとき
h(xy)＝h(x)h(y)　（x,y∈Σ^＊）
であることをyの長さに関する帰納法で証明せよ。

　解
●　|y|＝0のとき、左辺は
　h(xy)＝h(xε)＝h(x).
　右辺は
　h(x)h(y)＝h(x)h(ε)＝h(x).　∵準同型写像の定義による
　したがって
　　h(xy)＝h(x)h(y).　（＊）
●　|y|＝n　（n∈N）のときh(xy)＝h(x)h(y)が成り立つとする。yz＝w∈Σ^＊,z∈Σとおく。|w|＝n＋1である。h(x・w)＝h(x)h(w)を示せばよい。
　連接は交換法則を満たすから、左辺は
　h(x・w)＝h(xyz)＝h(xy・z)
　　＝h(xy)h(z)　∵準同型写像の定義による
　　＝h(x)h(y)h(z).　∵|y|＝nのときの仮定による
　右辺は
　h(x)h(w)＝h(x)h(yz)
　　＝h(x)h(y)h(z)　∵準同型写像の定義によりyzを分解。
　したがって
　　h(xy)＝h(x)h(y).　（＊＊）
　（＊）（＊＊）により、常にh(xy)＝h(x)h(y)が成り立つ。

Q.E.D.