:スターツールで端正な星形を描くための第1半径・第2半径の比を求めよ。

解答
Adobe Illustratorのスターツールでいう第1半径・第2半径とは、内側の多角形に外接する円の半径r1と外側の多角形に外接する円の半径r2のことだろう。
第1半径と第2半径
したがって、下図において線分BDと線分ACの長さの比を求めることに等しい。
五芒星の各線分
五芒星の各線分の比が黄金比であることを利用する。じつは
 BD:BC=BC:AC=1:(1+√5)/2
であるのだった。 →Wikipedia参照
これにより、
 r2=r1×(1+√5)/2×(1+√5)/2
  =r1×(3+√5)/2
  ≒r1×2.618033998…

これが結果である。
 BD:AC=1:(3+√5)/2

検証
スターツールの第1半径に10、第2半径に26.18(桁数は適当に調整される)を指定して作図すると、
スターツールのダイアログ端正な星形

ちゃんと端正な星形が描ける。

ちなみに、六芒星の場合。
正三角形に分けるような補助線を引いて、30°と60°の直角三角形の辺の比 1:2:√3 を思い出すと簡単にわかる。
1:√3≒1:1.7320508… である。
スターツールのダイアログ(六芒星)六芒星

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