:スターツールで端正な星形を描くための第1半径・第2半径の比を求めよ。

解答
Adobe Illustratorのスターツールでいう第1半径・第2半径とは、内側の多角形に外接する円の半径r1と外側の多角形に外接する円の半径r2のことだろう。
第1半径と第2半径
したがって、下図において線分BDと線分ACの長さの比を求めることに等しい。
五芒星の各線分
五芒星の各線分の比が黄金比であることを利用する。じつは
 BD:BC=BC:AC=1:(1+√5)/2
であるのだった。 →Wikipedia参照
これにより、
 r2=r1×(1+√5)/2×(1+√5)/2
  =r1×(3+√5)/2
  ≒r1×2.618033998…

これが結果である。
 BD:AC=1:(3+√5)/2

検証
スターツールの第1半径に10、第2半径に26.18(桁数は適当に調整される)を指定して作図すると、
スターツールのダイアログ端正な星形

ちゃんと端正な星形が描ける。

ちなみに、六芒星の場合。
正三角形に分けるような補助線を引いて、30°と60°の直角三角形の辺の比 1:2:√3 を思い出すと簡単にわかる。
1:√3≒1:1.7320508… である。
スターツールのダイアログ(六芒星)六芒星

Post filed under Illustratorの数学.

5 Comments

  1. admin says:

    なお、数学の解答としては、甚だ不十分。
    1.内側の多角形と外側の多角形が相似であることを述べていない。
    2.証明問題ならば各線分の比がその値であることを勝手に前提として使ってはいけない。
    部分点しかもらえないね。

  2. naoki says:

    綺麗な星をillustratorで作ろうとする度にこちらを参考にさせていただいてます。
    ありがとうございます

    • admin says:

      naokiさん
      コメントありがとうございます。お役に立ててうれしいです。

  3. harry says:

    I think 五芒星 r2=r1+r1x(1+√5)/2, this can be understood and more make sense, I don’t know why r2=r1×(1+√5)/2×(1+√5)/2, but it have same result, could you explain it, thx.

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